Kuerzlich hatten wir hier unter dem Thread-Titel "Seltsam" eine Diskussion, die seltsame Wege ging und dabei auch an die Frage des ueberlichtschnellen Signal- oder Gueter-Transports anknuepfte. Es ging insbesondere darum, wieweit man auf der Basis heutiger Theorien, insbesondere der speziellen Relativitaetstheorie Schluesse auf die Moeglichkeit oder Unmoeglichkeit dieses Transports ziehen koenne. Ich vertrat die Ansicht, dass, wenn man die Richtigkeit der speziellen Relativitaetstheorie fuer alle unterlichtschnellen Bewegungen voraussetzt, ueberlichtschneller Flug nur unter Verletzung des Kausalitaetsprinzips moeglich sei, d.h. gleichbedeutend mit der Moeglichkeit der Zeitreise.

Das wurde mit einer kleinen Geschichte illustriert, die im Perryversum spielt. In der darauffolgenden Diskussion erreichten wir schliesslich einen Punkt, wo aufgrund ungleicher Wissensbasis ein sinnvoller Austausch nicht mehr moeglich war. Deshalb meinte ich, es sei Zeit fuer einen kleinen Kurs in spezieller Relativitaetstheorie.

Nun, die Zeit ist verstrichen, und ich habe eine ganze Weile gebraucht, bis ich meine ersten Kurselemente fertig hatte. Das liegt daran, dass ich auch anderes zu tun habe und dies nur hobbyweise betreibe... :-) Natuerlich sollte der Kurs weitgehend formelfrei sein. Das bedeutet Bilder. Die haenge ich im TIFF-Format (LZW-Kompression) an die Kurseinheiten an. Ich hoffe, dass das die meisten anschauen koennen. GIF waere kompakter, ist aber vielleicht in der PC-Welt weniger verbreitet. Da ich am Schluss wieder auf meine Perry-Rhodan-Geschichte zurueckkommen werde, ist die Serie nicht voellig off-topic in dieser newsgroup.

Genug der Vorbemerkungen, lasst Daten folgen.

1. Newton

In der Physik pflegt man Vorgaenge in Raum und Zeit zu beschreiben. Ein Kantianer koennte sagen, das sei notwendig so, da Raum und Zeit Anschauungsformen unserer Vernunft seien, die Bedingungen objektiver Erkenntnis sind und damit solcher Erkenntnis vorausgehen. Allerdings wuerde ein "harter" Kantianer auch leugnen, dass Raum und Zeit selbst Objekte einer physikalischen Theorie sein koennen. Die Physiker scheren sich nicht drum und wir werden sehen, dass die spezielle Relativitaetstheorie letztlich eine Theorie der Struktur von Raum und Zeit ist. (Der Philosoph hat allerdings einen Ausweg: Er kann behaupten, dass der Raum und die Zeit der physikalischen Theorie nicht mit den uns a priori gegebenen Anschauungsformen von Raum und Zeit identisch sind. Das waere dann schon fast eine Lorentzsche Interpretation der Relativitaetstheorie. Aber dazu kommen wir noch.)

Zwecks Veranschaulichung der Beschreibung in Raum und Zeit benuetzt man sogenannte Raum-Zeit-Diagramme. Der Einfachheit halber werde ich die zunaechst fuer die Newtonsche Mechanik diskutieren. Und weil man vier Dimensionen (eine Zeit- und drei Raumdimensionen) so schlecht in der Ebene zeichnen kann, werde ich in den meisten Bildern nur eine Raumdimension benuetzen.

Bild galilei_1

Das Bild galilei_1 zeigt ein Raum-Zeit-Diagramm, wie man es in der Newtonschen Mechanik benuetzen wuerde. Die Zeit-Achse (t) geht, vielleicht ein bisschen ungewoehnlich, nach oben, die Raum-Achse (x) nach rechts. Ein Punkt A in einem solchen Diagramm wird ein Ereignis genannt. Das ist eine etwas vom ueblichen Gebrauch des Wortes abweichende Definition. Schlimmer noch, haeufig gebrauchen Physiker (und ich mache da keine Ausnahme) das Wort auch noch im ueblichen Sinn, also als etwas, das ein punktuelles Geschehen kennzeichnet. Das ist nicht ganz so fehlertraechtig wie es den Anschein hat, denn wie sonst sollte man einen Punkt in Raum und Zeit eindeutig kennzeichnen als durch etwas was dort gerade geschieht? (Koordinatensysteme sind ja Geschmackssache.)

Nun betrachten wir ein Objekt oder einen Beobachter, der sich relativ zu dem durch unser (xt)-System gekennzeichneten Bezugssystem mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Solch eine Bewegung ist etwa durch den blauen Pfeil gegeben. Eine derartige Linie im Raum-Zeit-Diagramm, die die Bewegung eines Objekts beschreibt, nennt man Weltlinie. In unserem Fall ist es wegen der angenommenen konstanten Geschwindigkeit eine Gerade, und der Kehrwert ihrer Steigung entspricht der Geschwindigkeit.

Weshalb habe ich an den blauen Pfeil t' geschrieben? Nun, wenn es sich um die Weltlinie eines Beobachters handelt, dann ist das auch gleichzeitig die Zeitachse im Bezugssystem dieses Beobachters. Wieso? Die Zeitachse ist ja der Ort aller Punkte mit einer festen Ortskoordinate (die t-Achse ist durch x=0 gegeben). Fuer einen Beobachter, der sich entlang der blauen Weltlinie bewegt, ist aber der Ort aller Punkte mit x'=0 gerade diese Linie. Und so wie man die Koordinaten des Punkts A im System (xt) durch Parallelprojektion auf die Achsen x und t erhaelt (gruene gestrichelte Linien), so sind sie im System (x' t') durch Parallelprojektion auf die Achsen x' und t' zu bestimmen. Da in der Newtonschen Mechanik die Zeit absolut und fuer alle Beobachter gleich ist, ist die x'-Achse (der Ort aller Punkte mit t'=0) identisch mit der x-Achse (dem Ort aller Punkte mit t=0). Die Projektion ist also entlang der blauen gestrichelten Linie entlang der waagerechten gruenen durchzufuehren.

Man sollte sich hier gleich klarmachen, dass aufgrund der Neigung der t'-Achse der Zeitmassstab im blauen Koordinatensystem ein anderer ist als im schwarzen. Denn die Zeit t=t'=1 ist durch einen waagerechten Schnitt (z.B. den schwarzen waagerechten Strich) gegeben, der offenbar eine laengeren Strecke auf der t'-Achse abschneidet als auf der t-Achse. Wann immer wir mit solchen nicht rechtwinklig gezeichneten Koordinatensystemen zu tun haben, werden wir uns mit solchen Maßstabsfragen befassen muessen.

Eine zentrale Aussage der Newtonschen Mechanik ist nun das Relativitaetsprinzip der Mechanik. Es besagt, dass durch kein denkbares mechanisches Experiment feststellbar ist, mit welcher konstanten Geschwindigkeit man sich denn nun bewegt. Anders ausgedrueckt, alle konstanten Geschwindigkeiten sind relativ, es gibt kein absolutes Bezugssystem, das einem erlauben wuerde, eine Geschwindigkeit absolut festzulegen. Alle Geschwindigkeiten sind nur bis auf einen beliebigen konstanten Wert definiert. Nochmal anders ausgedrueckt, der Ort ist keine absolute Groesse. Die physikalischen Gesetze haben fuer die Beobachter im (xt)-System und im (x' t')-System genau die gleiche Form. Ein Objekt aber, das sich im (x' t')-System an einem festen Ort (x') befindet, bewegt sich im (xt)-System (und umgekehrt). Der Newtonsche Raum ist also durchaus nicht so absolut, wie das manchmal geglaubt wird. Da alle mechanischen Gesetze unter den sogenannten Galilei-Transformationen invariant sind -- das sind die mathematischen Beziehungen, die es erlauben, von den Koordinaten eines sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Koordinatensystems auf die eines anderen umzurechnen -- kann man dem Raum nicht die Eigenschaft der Ruhe oder Bewegung zusprechen. Das gilt fuer *geradlinige gleichfoermige* Bewegungen (= konstante Geschwindigkeit).

Dass dem Newtonschen Raum durchaus eine feste Rotationsgeschwindigkeit (z.B. Null) zugesprochen werden kann, zeigt das beruehmte Newtonsche Eimerexperiment. Wenn man einen Eimer mit Wasser rotieren laesst, dann wird sich nach einer Weile ein Gleichgewichtszustand der Wasseroberflaeche in der Form eines Rotationsparaboloids einstellen. Aus dem Kruemmungsradius dieses Paraboloids im Zentrum kann auf die Rotationsgeschwindigkeit des Eimers gegenueber dem "absoluten Raum" geschlossen werden. Ist die Kruemmung Null, d.h. die Oberflaeche eben, rotiert der Eimer nicht.

Bild galilei_2

Fuer geradlinige gleichfoermige Bewegungen aber gilt das Relativitaetsprinzip, d.h. unser schwarzer und blauer Beobachter sind voellig gleichberechtigt. Jeder kann sich zu Recht als in Ruhe befindlich betrachten. Zwar bevorzugt unsere Darstellung den schwarzen Beobachter, aber das laesst sich leicht aendern, wie das Bild galilei_2 zeigt, dessen Informationsgehalt natuerlich genau der gleiche ist wie der des ersten Bilds. Aber jetzt haben wir dem blauen Beobachter rechte Winkel zugebilligt.

2. Die Elektrodynamik

So weit, so gut. Anfang dieses Jahrhunderts allerdings glaubten die Physiker, eine Luecke im Relativitaetsprinzip entdeckt zu haben. Die schien durch die Elektrodynamik gefordert, deren zentrale Gleichungen seit ein paar Jahrzehnten bekannt waren (von Herrn Maxwell aufgestellt). Diese Gleichungen beschreiben unter anderem die Ausbreitung von Licht. Und sie sind nicht invariant unter den Galilei-Transformationen. Im wesentlichen besagen sie, dass das Licht sich mit einer konstanten Geschwindigkeit ausbreitet, was solange kein Problem ist, solange diese Ausbreitung in einem Material stattfindet. Denn dann liefert das Material ein ausgezeichnetes Bezugssystem, und die Gleichungen gelten in dem System, wo das Material ruht.

Leider sagen die Maxwell-Gleichungen auch fuer Licht im leeren Raum eine konstante Geschwindigkeit voraus. Das sieht nun wie ein Widerspruch zum Relativitaetsprinzip aus. Denn wenn dieses auch fuer die Elektrodynamik gaelte, dann sollte die Lichtgeschwindigkeit fuer jeden sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Beobachter dieselbe sein. Das aber ist offensichtlich Humbug, da natuerlich das Licht sich von einem Beobachter, der ihm nachlaeuft, langsamer entfernt als von einem, der stehen bleibt. So dachte man :-).

Allerdings schien das zunaechst kein echtes Problem. Schliesslich konnte man annehmen, dass der Raum eben nicht wirklich leer sei, sondern mit einer neuen Substanz erfuellt, dem Aether. Dieser Aether sollte der Traeger der Lichtwellen sein, und da er, wie man annehmen musste, den ganzen Raum erfuellt, wuerde er ein ausgezeichnetes Bezugssystem definieren, in dem die Gleichungen der Elektrodynamik gelten. Der Raum konnte dann immer noch als "bewegungsindefinit" angenommen werden, aber natuerlich waere es schon sinnvoll, alle Geschwindigkeiten relativ zu der des Aethers zu messen, so dass durch die Hintertuer absolute Geschwindigkeiten eingefuehrt waeren.

Das Prinzip ist einfach. Man messe die Lichtgeschwindigkeit in eine beliebige Richtung und in die entgegengesetzte. Sind sie gleich, ruht man gegenueber dem Aether, sind sie verschieden, kann man aus der Differenz auf die eigene Geschwindigkeit in der betrachteten Richtung relativ zum Aether schliessen. Die Messung sollte moeglichst im Vakuum stattfinden, da in Materialien wie etwa Wasser das Licht eine durch das Material bestimmte Geschwindigkeit hat und man dann nur seine eigene Geschwindigkeit gegenueber der des Wassers misst. Um es kurz zu machen, mit Wasser funktioniert die Sache, mit Vakuum nicht. Die ersten Experimente dieser Art (Michelson und Morley) hatten ihre Schwaechen, doch die sind mittlerweile behoben (die Relativitaetstheorie wird seit ueber 90 Jahren getestet). Das Ergebnis ist klipp und klar: im Vakuum ist die Lichtgeschwindigkeit unabhaengig von der (geradlinig gleichfoermigen) Bewegung des Beobachters. Also genau der Humbug, den wir eigentlich ausgeschlossen hatten.

Was bedeutet das? Znunaechst einmal, dass das Relativitaetsprinzip den Todesstoss von seiten der Elektrodynamik auf gloriose Weise ueberlebt hat: auch mit elektrodynamischen Experimenten ist es nicht moeglich, eine konstante Geschwindigkeit absolut festzulegen. Da die Gleichungen von Mechanik und Elektrodynamik zusammengenommen dem aber widersprechen, muss in einem der beiden Gebiete etwas falsch sein.

3. Die spezielle Relativitaetstheorie

Einstein entschied nun, bei (damals) durchaus spaerlicher experimenteller Grundlage, dass die Gleichungen der Elektrodynamik schon die richtige Form haetten und folglich die der Mechanik modifiziert werden muessten.

Er ging von zwei Grundforderungen aus:

  1. Das Relativitaetsprinzip gilt, und zwar voellig allgemein, d.h. es gibt gar keinen physikalischen Prozess, mit dem eine konstante Geschwindigkeit feststellbar waere, nicht nur keinen mechanischen.
  2. Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist unabhaengig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle (und damit, wegen a) auch von der jedes Beobachters).

3.1 Die Lorentz-Transformationen

Wie laesst sich das vereinbaren? Nun, es muss eben so sein, dass die Galilei-Transformationen nicht die richtigen Transformationen sind, wenn man vom Bezugssystem eines Beobachters in das eines relativ dazu mit konstanter Geschwindigkeit bewegten anderen Beobachters umrechnen will.

Bild lorentz_1

Wie die richtigen Transformationen wirken muessen, kann man sich anhand eines Bildes klarmachen. Das ist das Bild lorentz_1. Hier habe ich statt t an die Zeitachse ct geschrieben. Das hat den Vorteil, dass ein vom Ursprung nach rechts gehender Lichtstrahl sich in diesem Koordinatensystem entlang der ersten Winkelhalbierenden bewegt (rote Linie), denn die in der Zeit t zurueckgelegte Strecke ist natuerlich x=ct. (Die Zeit wird also in Metern vom Licht zurueckgelegter Strecke gemessen.)

Nun wollen wir das Koordinatensystem eines sich relativ zum (xt)-System mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Beobachters konstruieren. An der ct'-Achse koennen wir nicht ruetteln, die ist zwangslaeufig durch die Weltlinie des Beobachters (also seine Geschwindigkeit) festgelegt. Aber dann sagt uns unser zweites Postulat, dass das Licht sich mit der Geschwindigkeit c bewegen muss. Das heisst, die rote Weltlinie des Lichts muss auch fuer unser (x' t')-System erste Winkelhalbierende sein. Waere es nicht so, haette das Licht ja eine andere Geschwindigkeit als c im (x' t')-System. Jetzt ist also die x'-Achse nicht mehr mit der x-Achse identisch. Was bedeutet das? Da die Raumachsen Orte gleichzeiter Ereignisse sind (denn die x-Achse ist durch ct=0 gegeben, die x'-Achse durch ct'=0), sind an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisse, die fuer den Beobachter im schwarzen Koordinatensystem gleichzeitig stattfinden, nicht gleichzeitig fuer den im blauen Koordinatensystem ruhenden Beobachter und umgekehrt.

Bild lorentz_2

Das ist sicher etwas gewoehnungsbeduerftig und soll deshalb nochmal explizit am Bild lorentz_2 demonstriert werden. A und B sind zwei Ereignisse, die im blauen System gleichzeitig sind -- ihre Verbindungslinie ist eine zur x'-Achse parallele Gerade. Im schwarzen System findet B nach A statt.

Zwei Dinge sollte man sich noch klarmachen. Fuehrt man den Punkt B naeher an A heran, bis sie zusammenfallen, so stimmen beide Beobachter bezueglich der Gleichzeitigkeit der Ereignisse A und B ueberein. Eine " Meinungsverschiedenheit" ist also nur moeglich, wenn A und B raeumlich getrennte Ereignisse sind. Wenn man andererseits B entlang der Parallelen zur x'-Achse weiter von A entfernt, etwa bis zum Punkt B', dann sind A und B' fuer den blauen Beobachter immer noch gleichzeitig, aber fuer den schwarzen ist ihr zeitlicher Abstand groesser geworden -- B' liegt noch spaeter als B.

Zweifellos seltsame Schlussfolgerungen. Aber sie koennen nicht einfach deshalb von der Hand gewiesen werden, weil unsere Alltagserfahrungen nicht damit zusammenzupassen scheinen. Denn die Alltagsvorstellung, dass Gleichzeitigkeit etwas Absolutes sei, ist ja leicht zu erklaeren: alle im Alltag vorkommenden Relativgeschwindigkeiten sind so klein gegenueber der Lichtgeschwindigkeit, dass die Neigung der x'-Achse gar nicht auffaellt und Interpretationen im Rahmen der Galilei-Transformationen quantitativ richtig bleiben. Wenn man aber grosse Geschwindigkeiten hat (d.h. der Winkel zwischen ct- und ct'-Achse gross ist) oder aber grosse Entfernungen, dann macht sich der Unterschied zwischen den Galilei-Transformationen und den richtigen Transformationen, den Lorentz-Transformationen, durchaus bemerkbar.

Dass unsere bisherigen Schlussfolgerungen unlogisch waeren, ist jedenfalls eine nicht haltbare Aussage. Sie sind zwangslaeufige Konsequenzen der beiden Ausgangspostulate. Wenn sie falsch sind, muss eines der Postulate falsch sein.

Ich hoffe, das ist erstmal Stoff zum Nachdenken. Meine naechstes Postin wird, wieder ueber Diagramme, Ableitungen der Zeitdilatation und Lorentzkontraktion enthalten. Vielleicht sage ich auch noch was zur Unsichtbarkeit der Lorentzkontraktion. Dann kommt die Perry-Rhodan-Story, also: was kann man zu ueberlichtschnellem Transport aufgrund der Relativitaetstheorie sagen. Schliesslich werden ein paar philosophische Schlussbemerkungen wohl unvermeidlich sein :-).


Klaus Kassner Institut fuer Theoretische Physik /
Computerorientierte Theor. Physik
Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg Postfach 4120 /
D-39016 Magdeburg
$Date: 2012-05-14 12:08:16 +0200 (Mon, 14 May 2012) $